Hier noch mal die Aufgabenstellung:
Ihr seid Gast in einer Spielshow und müsst zwischen drei Türen wählen. Hinter einem verbirgt sich der Hauptgewinn, ein Auto. Hinter den anderen beiden sind Ziegen. Ihr wählt - sagen wir einmal - Tür 2. Der Spielleiter öffnet daraufhin Tür 1, hinter der eine Ziege zum Vorschein kommt. Ihr habt nun die Wahl: Bleibt ihr bei Tür 2 oder wählt ihr Tür 3?
Wofür entscheidet ihr euch? Was ist günstiger (vorausgesetzt, man ist scharf auf das Auto und nicht die Ziegen): umwählen oder bleiben?
-------------
Und die Lösung: Ihr wählt also eine Tür, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 ist das Auto dahinter - das ist Eure Gewinnchance. Der Spielleiter öffnet eine andere Tür mit einer Ziege dahinter. Jetzt habt Ihr die Möglichkeit Euch zu entscheiden: bleibt ihr dabei (Gewinnchance 1/3) oder ändert Ihr Eure Wahl? (Gewinnchance: der ganze Rest, also 2/3).
Alles klar?
Viele Grüße,
Christine
Das Ziegenproblem
Bisherige Antworten
*grübel kopfkratz überleg*
Re: *grübel kopfkratz überleg*
Hallo Uta,
stell dir vor, du würdest bei 999 Versuchen immer bei der zuerst gewählten Tür bleiben. Du würdest also erwartungsgemäß 1/3 der Autos, also 333 Stück gewinnen. Hättest du aber umgewählt (es sind dann ja nur noch zwei Türen im Spiel), hättest du die restlichen 666 Autos gewonnen.
LG Katja
stell dir vor, du würdest bei 999 Versuchen immer bei der zuerst gewählten Tür bleiben. Du würdest also erwartungsgemäß 1/3 der Autos, also 333 Stück gewinnen. Hättest du aber umgewählt (es sind dann ja nur noch zwei Türen im Spiel), hättest du die restlichen 666 Autos gewonnen.
LG Katja
Die neue Chance ist bei beiden 1/2 !!
weil die geöffnete Tür immer Ziegen enthält
Aber Du weißt mehr
Du weißt nämlich, daß die Chance, daß hinter DEINER Tür das Auto ist, 1/3 beträgt - weil Du vorher schon gewählt hast. Dürftest Du erst wählen, wenn die eine Tür schon geöffnet ist, währe die Chance tatsächlich 1/2.
Wenn Du die Ziege hast, hat der Spielleiter nur noch eine Möglichkeit, eine Tür zu öffnen, da er Dir ja eine Ziege zeigen will. Nur wenn Du das Auto hast, hat er noch zwei Möglichkeiten.
Wenn er die Tür öffnet BEVOR Du gewählt hast, hat er immer zwei Möglichkeiten.
Viele Grüße,
Christine
Wenn Du die Ziege hast, hat der Spielleiter nur noch eine Möglichkeit, eine Tür zu öffnen, da er Dir ja eine Ziege zeigen will. Nur wenn Du das Auto hast, hat er noch zwei Möglichkeiten.
Wenn er die Tür öffnet BEVOR Du gewählt hast, hat er immer zwei Möglichkeiten.
Viele Grüße,
Christine
Also, das verstehe ich jetzt nicht...
Ich würde mich Birgit anschließen (50/50) und meikne, das sich es so auch in der Schule gelernt habe. Was Du jetzt mit Deiner Erklärung sagen willst, peil ich nicht... Werd mal noch die anderen Postings lesen, vielleicht kapier ich es dann :-)
Wie kommt Ihr überhaupt darauf, war da was auf dem LZS-Treffen oder was?
LG, Manu
Wie kommt Ihr überhaupt darauf, war da was auf dem LZS-Treffen oder was?
LG, Manu
Re: Also, das verstehe ich jetzt nicht...
Hi Manu-
ich raff es auch nicht...komme mir hier ganz schoen bekloppt vor.
Und es hat nichts mit Bonn zu tun! Aber: Katja lehrt Mathe und Birgit hat Mathematik studiert (bigbird auch). Persoenlich kann ich mich bei dem blossen Gedanken daran nur gruseln.
LG Kerstin
ich raff es auch nicht...komme mir hier ganz schoen bekloppt vor.
Und es hat nichts mit Bonn zu tun! Aber: Katja lehrt Mathe und Birgit hat Mathematik studiert (bigbird auch). Persoenlich kann ich mich bei dem blossen Gedanken daran nur gruseln.
LG Kerstin
Erklärungen:
1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wagen hinter der erstgewählten Tür ist, beträgt 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass er hinter einer der beiden anderen Türen ist, beträgt somit 2/3. Wenn ich nun erfahre, hinter welcher der beiden anderen Türen er nicht ist, weiß ich sofort die Tür, hinter der er mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 ist.
2. In einem Drittel der Fälle fährt die Kandidatin gut mit der Strategie, an ihrer gewählten Tür festzuhalten. In zwei Dritteln der Fälle geht sie automatisch zum Gewinn über, wenn sie wechselt.
3. In zwei Dritteln der Fälle habe ich zuerst eine Tür ohne Auto gewählt, also ist Wechseln besser.
4. Vom Moderator aus gedacht: Er sortiert eine Ziegentür aus der Menge der beiden verbleibenden Türen aus. In zwei von drei Fällen verbirgt die nicht gewählte verschlossene Tür den Gewinn.
5. Angenommen, es gibt zwei Kandidaten A und B. A bleibt immer bei der ersten Tür, B wechselt nach der Intervention des Moderators zur verbleibenden dritten Tür. Das Experiment findet 999 mal statt. Was geschieht? Da A sich vom Moderator nicht beeinflussen lässt, wird er aller Wahrscheinlichkeit nach um die 333 Autos gewinnen. Doch wo bleiben die fehlenden 666 Autos? Sie können nur von B gewonnen sein. Also hat B doppelt so viele Autos wie A gewonnen, also ist hinter der verbleibenden Tür tatsächlich mit doppelter Wahrscheinlichkeit ein Auto anzutreffen.
Klarer?
LG Katja
2. In einem Drittel der Fälle fährt die Kandidatin gut mit der Strategie, an ihrer gewählten Tür festzuhalten. In zwei Dritteln der Fälle geht sie automatisch zum Gewinn über, wenn sie wechselt.
3. In zwei Dritteln der Fälle habe ich zuerst eine Tür ohne Auto gewählt, also ist Wechseln besser.
4. Vom Moderator aus gedacht: Er sortiert eine Ziegentür aus der Menge der beiden verbleibenden Türen aus. In zwei von drei Fällen verbirgt die nicht gewählte verschlossene Tür den Gewinn.
5. Angenommen, es gibt zwei Kandidaten A und B. A bleibt immer bei der ersten Tür, B wechselt nach der Intervention des Moderators zur verbleibenden dritten Tür. Das Experiment findet 999 mal statt. Was geschieht? Da A sich vom Moderator nicht beeinflussen lässt, wird er aller Wahrscheinlichkeit nach um die 333 Autos gewinnen. Doch wo bleiben die fehlenden 666 Autos? Sie können nur von B gewonnen sein. Also hat B doppelt so viele Autos wie A gewonnen, also ist hinter der verbleibenden Tür tatsächlich mit doppelter Wahrscheinlichkeit ein Auto anzutreffen.
Klarer?
LG Katja
Ich weiß schon, warum ich Stochastik abgewählt hab
Denn ich hätte in diesem Fall bestimmt stundenlang
mit meinem Mathelehrer diskutiert, dass die neue
Wahrscheinlichkeit 50:50 sein müsste (Türen haben
keine Erinnerung) ...
LG
Zora, die ihr Matheabi in Vektorrechnung gemacht hat
und mit Wahrscheinlichkeitsrechnung seit eh und je
auf Kriegsfuß steht
mit meinem Mathelehrer diskutiert, dass die neue
Wahrscheinlichkeit 50:50 sein müsste (Türen haben
keine Erinnerung) ...
LG
Zora, die ihr Matheabi in Vektorrechnung gemacht hat
und mit Wahrscheinlichkeitsrechnung seit eh und je
auf Kriegsfuß steht
Aber ...
wieso sollte Deine Gewinnchance sich plötzlich erhöhen, wenn Du nichts änderst? Oder - rechne mal mit 100 Türen, und der Spielleiter öffnet alle bis auf eine. Immer noch 50%???
Viele Grüße,
Christine
Viele Grüße,
Christine
Re: Aber ...
Nee, wenn nur noch eine Tür übrig bleibt, ist die Chance 100% auf
das Auto, falls hinter allen anderen Ziegen waren. Vor dem Öffnen
der ersten Tür standen die Chancen bei 1:99, wenn noch 2 Türen
übrig sind, ist die Gewinnchance bei 50:50 angekommen. Oder
nicht?
Du änderst zwar nichts, aber die Ausgangsbedingungen ändern
sich doch! Also wenn eine Tür (von den drei angenommenen)
offen ist, fällt die doch quasi weg, und das Auto ist dann - neue
Wahrscheinlichkeit - entweder hinter der einen oder hinter der
anderen übrigen Tür, also ist die Chance 50:50 oder 1:2 oder
50%. Oder hab ich Mathe doch zu früh abgewählt? :)
LG Yuri, deren Mann immer behauptet, die
Regenwahrscheinlichkeit muss doch grundsätzlich 50% betragen
- entweder es regnet oder es regnet nicht...
das Auto, falls hinter allen anderen Ziegen waren. Vor dem Öffnen
der ersten Tür standen die Chancen bei 1:99, wenn noch 2 Türen
übrig sind, ist die Gewinnchance bei 50:50 angekommen. Oder
nicht?
Du änderst zwar nichts, aber die Ausgangsbedingungen ändern
sich doch! Also wenn eine Tür (von den drei angenommenen)
offen ist, fällt die doch quasi weg, und das Auto ist dann - neue
Wahrscheinlichkeit - entweder hinter der einen oder hinter der
anderen übrigen Tür, also ist die Chance 50:50 oder 1:2 oder
50%. Oder hab ich Mathe doch zu früh abgewählt? :)
LG Yuri, deren Mann immer behauptet, die
Regenwahrscheinlichkeit muss doch grundsätzlich 50% betragen
- entweder es regnet oder es regnet nicht...
Re: Aber ...
Hallo Yuri,
das Beispiel mit der Regenwahrscheinlichkeit ist prima! Natürlich gibt es nur zwei Möglichkeiten: Es regnet oder eben nicht. Das heißt aber nicht, dass die Wahrscheinlichkeiten notwendigerweise gleich sind. Um ein anderes Beispiel zu nehmen: Entweder dein Flugzeug stürzt ab oder es stürzt nicht ab. Gut, dass die beiden Ereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind!
Zurück zu den Ziegen, Autos und Türen. Wir sind uns ja einig, dass bei 100 Türen (dahinter 99 Ziegen und ein Auto) die Wahrscheinlichkeit 1/100, also 1% beträgt, dass hinter einer gewählten Tür das Auto ist. Wird eine andere Tür geöffnet (hiner der sich eine Ziege befindet!), so bleibt diese Wahrscheinlichkeit gleich. Sie würde sich nur dann ändern, wenn in jedem Schriit Autos und Ziegen wieder neu verteilt werden. Das ist aber nicht der Fall.
Stelle dir vor, du bleibst immer bei der gewählten Tür. Dann gewinnst du bei 100 Versuchen gerade mal ein Auto (im Mittel natürlich). Und wer gewinnt die anderen 99 Autos? Richtig, derjenige, der umgewählt hätte :-)
Das Ziegenproblem hat vor einigen Jahren auch in Mathematikerkreisen zu heißen Diskussionen geführt. Erst als das Problem öffentlich simuliert wurde, glaubte man, das Umwählen geschickter ist.
LG Katja
das Beispiel mit der Regenwahrscheinlichkeit ist prima! Natürlich gibt es nur zwei Möglichkeiten: Es regnet oder eben nicht. Das heißt aber nicht, dass die Wahrscheinlichkeiten notwendigerweise gleich sind. Um ein anderes Beispiel zu nehmen: Entweder dein Flugzeug stürzt ab oder es stürzt nicht ab. Gut, dass die beiden Ereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind!
Zurück zu den Ziegen, Autos und Türen. Wir sind uns ja einig, dass bei 100 Türen (dahinter 99 Ziegen und ein Auto) die Wahrscheinlichkeit 1/100, also 1% beträgt, dass hinter einer gewählten Tür das Auto ist. Wird eine andere Tür geöffnet (hiner der sich eine Ziege befindet!), so bleibt diese Wahrscheinlichkeit gleich. Sie würde sich nur dann ändern, wenn in jedem Schriit Autos und Ziegen wieder neu verteilt werden. Das ist aber nicht der Fall.
Stelle dir vor, du bleibst immer bei der gewählten Tür. Dann gewinnst du bei 100 Versuchen gerade mal ein Auto (im Mittel natürlich). Und wer gewinnt die anderen 99 Autos? Richtig, derjenige, der umgewählt hätte :-)
Das Ziegenproblem hat vor einigen Jahren auch in Mathematikerkreisen zu heißen Diskussionen geführt. Erst als das Problem öffentlich simuliert wurde, glaubte man, das Umwählen geschickter ist.
LG Katja
Doch zu früh abgewählt...
"Stelle dir vor, du bleibst immer bei der gewählten Tür. Dann gewinnst
du bei 100 Versuchen gerade mal ein Auto (im Mittel natürlich). Und wer
gewinnt die anderen 99 Autos? Richtig, derjenige, der umgewählt hätte"
Aber wenn es doch nur ein Auto gibt, woher kommen dann die 99
anderen? Ist das sowas wie Schröders Katze? Also: Bis die Tür aufgeht,
weiß niemand, ob nun Ziege oder Auto dahinter ist, also ist beides wahr?
Es tröstet mich ja etwas, dass auch die Mathematiker sich nicht einig
waren (muss ich direkt mal meinen Bruder fragen, wenn ich 5 Stunden
Zeit hab *g*), aber ich kapier das immer noch nicht. Hätte ich Mathe mal
beibehalten bis zum Abi...
LG Yuri
du bei 100 Versuchen gerade mal ein Auto (im Mittel natürlich). Und wer
gewinnt die anderen 99 Autos? Richtig, derjenige, der umgewählt hätte"
Aber wenn es doch nur ein Auto gibt, woher kommen dann die 99
anderen? Ist das sowas wie Schröders Katze? Also: Bis die Tür aufgeht,
weiß niemand, ob nun Ziege oder Auto dahinter ist, also ist beides wahr?
Es tröstet mich ja etwas, dass auch die Mathematiker sich nicht einig
waren (muss ich direkt mal meinen Bruder fragen, wenn ich 5 Stunden
Zeit hab *g*), aber ich kapier das immer noch nicht. Hätte ich Mathe mal
beibehalten bis zum Abi...
LG Yuri
Re: Doch zu früh abgewählt...
Hallo Yuri,
bitte entschuldige, die Zahlen waren unglücklich gewählt. Bei 100 Versuchen mit 100 Türen würdest du ein einziges Auto gewinnen (jedenfalls erwartungsgemäß, vieleicht wären es auch keines oder mehrere).
Welche Zahlen passen besser? Hm, führe den 100-Türen-Versuch doch einfach 500mal durch (im Geiste natürlich ;-) und bleibe immer bei der zuerst gewählten Tür. Ob und wie viele Türen geöffnet werden, ist für diesen Fall völlig uninteressant, deine Gewinnchance ist und bleibt 1/100. Du würdest also 1/100 von 500, also 5 Autos gewinnen. Sind wir uns soweit einig? Was ist mit den anderen 495 Autos? Die kann der Betreiber der Spielshow behalten - oder der geschickte Umwähler :-)
LG Katja, die trotz Mathematik-Studium die Lösung nicht gleich verstanden hat
bitte entschuldige, die Zahlen waren unglücklich gewählt. Bei 100 Versuchen mit 100 Türen würdest du ein einziges Auto gewinnen (jedenfalls erwartungsgemäß, vieleicht wären es auch keines oder mehrere).
Welche Zahlen passen besser? Hm, führe den 100-Türen-Versuch doch einfach 500mal durch (im Geiste natürlich ;-) und bleibe immer bei der zuerst gewählten Tür. Ob und wie viele Türen geöffnet werden, ist für diesen Fall völlig uninteressant, deine Gewinnchance ist und bleibt 1/100. Du würdest also 1/100 von 500, also 5 Autos gewinnen. Sind wir uns soweit einig? Was ist mit den anderen 495 Autos? Die kann der Betreiber der Spielshow behalten - oder der geschickte Umwähler :-)
LG Katja, die trotz Mathematik-Studium die Lösung nicht gleich verstanden hat
Re: Doch zu früh abgewählt...
Sorry, ich glaub, ich bin zu sprachbegabt dafür. *gg* Die Frage bleibt
doch die gleiche: Woher kommen die 495 Autos, wenn davon
ausgegangen wird, dass hinter EINER Tür EIN Auto steht, und zwar hinter
"genau einer" Tür "genau ein" Auto? Und was soll ich überhaupt mit 495
Autos anfangen, wo parke ich die in Berlin? *ggg*
Kennst du eigentlich den Witz mit dem Pastor, dem... äh... Physiker,
glaub ich, und dem Mathematiker im Zug? Sie fahren in der Schweiz an
einer Herde Schafe vorbei, darunter ist auch ein schwarzes Schaf. "Sieh
an", sagt der Pfarrer, "in der Schweiz gibt es also auch schwarze Schafe."
- "Das kann man so nicht sagen", widerspricht der Physiker, "nur dass es
in der Schweiz mindestens ein schwarzes Schaf gibt." - "Nein", sagt der
Mathematiker, "wir wissen nur sicher, dass es in der Schweiz mindestens
ein Schaf gibt, das auf mindestens einer Seite schwarz ist."
Aber mit Mathematikerwitzen brauche ich dir wohl nicht zu kommen, die
kennst du sicher alle...
LG Yuri
doch die gleiche: Woher kommen die 495 Autos, wenn davon
ausgegangen wird, dass hinter EINER Tür EIN Auto steht, und zwar hinter
"genau einer" Tür "genau ein" Auto? Und was soll ich überhaupt mit 495
Autos anfangen, wo parke ich die in Berlin? *ggg*
Kennst du eigentlich den Witz mit dem Pastor, dem... äh... Physiker,
glaub ich, und dem Mathematiker im Zug? Sie fahren in der Schweiz an
einer Herde Schafe vorbei, darunter ist auch ein schwarzes Schaf. "Sieh
an", sagt der Pfarrer, "in der Schweiz gibt es also auch schwarze Schafe."
- "Das kann man so nicht sagen", widerspricht der Physiker, "nur dass es
in der Schweiz mindestens ein schwarzes Schaf gibt." - "Nein", sagt der
Mathematiker, "wir wissen nur sicher, dass es in der Schweiz mindestens
ein Schaf gibt, das auf mindestens einer Seite schwarz ist."
Aber mit Mathematikerwitzen brauche ich dir wohl nicht zu kommen, die
kennst du sicher alle...
LG Yuri
Re: Doch zu früh abgewählt...
500 Versuche heißt, daß die Türen nach jedem Versuch wieder neu gefüllt werden. D.h. wenn jemand ein Auto gewonnen hat, kommt halt ein neues ins Spiel. Und ein Versuch/Durchlauf heißt: Du wählst, Türen werden geöffnet, Du hast die Möglichkeit, dich umzuentscheiden, und die Auflösung wird verkündet (und eventuell der Preis vergeben). Beim nächsten Versuch ist ein neues Auto da, und die Türen werden neu gefüllt.
Und einen Witz hab ich auch noch: ein Biologe, ein Mathematiker beobachten einen Fahrstuhl. In den leeren Fahrstuhl steigen 2 Personen ein. In der nächsten Etage steigen 3 Personen aus. Der Biologe: 'ganz klar, die haben sich vermehrt'. Der Physiker: 'Hm ... muß wohl an der Meßungenauigkeit liegen'. Der Mathematiker: 'Wenn jetzt einer einsteigt, sind genau 0 Personen drin'.
Viele Grüße,
Christine
Und einen Witz hab ich auch noch: ein Biologe, ein Mathematiker beobachten einen Fahrstuhl. In den leeren Fahrstuhl steigen 2 Personen ein. In der nächsten Etage steigen 3 Personen aus. Der Biologe: 'ganz klar, die haben sich vermehrt'. Der Physiker: 'Hm ... muß wohl an der Meßungenauigkeit liegen'. Der Mathematiker: 'Wenn jetzt einer einsteigt, sind genau 0 Personen drin'.
Viele Grüße,
Christine
*lol*
Ich schließe mich Antwort 3 an, aber die Ziege geb ich auf. *g*
LG Uta
LG Uta
Nochmal aber ...
Ich hab nämlich irgendwann mal ein ähnliches
Problem gehört, bei dem immer eine Münze geworfen
wird. Es sah so aus, dass die Münze schon 9mal
geworfen wurde und immer Zahl gekommen ist. Laut
Lösungist nun aber die Wahrscheinlichkeit, dass
wieder Zahl fällt, 50:50 .... (Also genau andersherum
als in unserem Ziegenfall).
Und hier hätte ich natürlich gemeint, dass sie viel
kleiner sein müsste, denn wann schmeisst man schon
mal 10 Zahl hintereinander???
LG
Zora das Stochastikgenie und Mattis, der sich eh mehr
über ne Ziege freuen würde
Problem gehört, bei dem immer eine Münze geworfen
wird. Es sah so aus, dass die Münze schon 9mal
geworfen wurde und immer Zahl gekommen ist. Laut
Lösungist nun aber die Wahrscheinlichkeit, dass
wieder Zahl fällt, 50:50 .... (Also genau andersherum
als in unserem Ziegenfall).
Und hier hätte ich natürlich gemeint, dass sie viel
kleiner sein müsste, denn wann schmeisst man schon
mal 10 Zahl hintereinander???
LG
Zora das Stochastikgenie und Mattis, der sich eh mehr
über ne Ziege freuen würde
Re: Nochmal aber ...
Tja, die Münze wird aber jedesmal neu geworfen ... und betrachtet wird nur die Frage, was bei diesem Wurf jetzt rauskommt. Wenn Du fragst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, 10x hintereinander Zahl zu werfen, die ist natürlich sehr viel geringer.
Viele Grüße,
Christine
Viele Grüße,
Christine
Re: Nochmal aber ...
Hallo Zora,
der Unterschied zum Münzwurf ist, dass es beim zehnten Wurf der Münze völlig unerheblich ist, wie die Münze vorher gefallen ist, weil man jedes Mal einen neuen Versuch startet. Beim Ziegenproblem ist es aber eben nicht so, weil das Auto und die Ziegen hinter den Türen nach dem Öffnen einer Tür NICHT neu verteilt werden.
LG Katja
der Unterschied zum Münzwurf ist, dass es beim zehnten Wurf der Münze völlig unerheblich ist, wie die Münze vorher gefallen ist, weil man jedes Mal einen neuen Versuch startet. Beim Ziegenproblem ist es aber eben nicht so, weil das Auto und die Ziegen hinter den Türen nach dem Öffnen einer Tür NICHT neu verteilt werden.
LG Katja
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